Limites
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Uma ideia central em cálculo é o **valor da declividade de uma reta**, mas
para avaliar a declividade, a taxa de mudança, em condições de fuga, quando os
termos se tornam quase 0/0, requer a ideia de um **limite**. E central na
ideia de um limite é a ideia de uma **sequência** de números racionais.

.. TODO:: Ancorar palavra "declividade".
.. TODO:: Ancorar palavra "racionais".

A Sequencia dos Números Racionais
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Encontramos essa sequência em geometria quando determinamos o valor de **pi**,
que é a razão da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro. Para isso,
inscrevemos no círculo um polígono regular. A razão do perímetro do polígono
para o seu diâmetro, que nós podemos calcular, será uma aproximação de **pi**.
E quando nós aumentamos o número de lados -- isso se nós considerarmos uma
sequência de polígonos: 60 lados, 61 lados, 52, 63, 64, e etc -- a sequência
dessas razões fica cada vez mais próxima de **pi**. O círculo nunca será igual
à nenhum polígono. Mas se considerarmos um número suficientemente grande de
lados, a diferença entre o círculos e aquele polígono, o erro, vai ser bem
menor que qualquer número pequeno que pudermos imaginar. Menor até que

.. MATH:: 0.00000000000000000000000000000001!

Essa é a ideia de uma sequência aproximando-se de um limite, ou uma fronteira.
Por esse processo, nós podemos aproximar o valor de **pi** tão próximo quanto
quisermos.

.. TODO:: Substituir "pi" pelo símbolo correto.
.. TODO:: Incluir Problema 1.

O Limite de uma Variável
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Considere essa sequência de valores de uma variável **x**:

.. MATH:: 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.99999, ...

Esses valores estão ficando cada vez mais próximos de 2 -- eles estão se
aproximando de 2 como seu limite. 2 é o menor número tal que não importando
que termo da sequência nós tomemos, ele será menor que 2.

Nós podemos definir "cada vez mais perto" matematicamente, dizendo que as
diferença entre os termos daquela sequência e 2 se tornam e permanecem menores
que qualquer número pequeno que pudermos pensar. Isso é, nós podemos definir
um limite considerando a sequência de diferenças, **x - 2**:

.. MATH:: 1.9 − 2, 1.99 − 2, 1.999 − 2, 1.9999 − 2, 1.99999 − 2, ...

Agora pense num número positivo, porém pequeno. Por exemplo, "O tamanho de
um átomo de hidrogênio". Então se considerarmos um número suficiente de
elementos dessa sequência, o valor absoluto de alguma diferença (que é
negativa) vai ser menor que o número escolhido. O erro, em outras palavras,
entre os termos de uma sequência e o seu limite pode ser tão pequeno quanto
quisermos.

.. TODO:: Ancorar "sequencia".

Quando uma variável **x** se aproxima de um limite **l**, nós simbolizamos
isso como **x -> l**. Lê-se: "Os valores de x aproximam-se de l como limite",
ou simplesmente, "x aproxima-se de l". No exemplo acima, **x -> 2**, "x
aproxima-se de 2".

.. TODO:: Ancorar "acima".
.. TODO:: Substituir "->" pelo símbolo correto.

Também dizemos que uma sequência **converge** para um limite. A sequência
acima converge para 2.

.. TODO:: Ancorar "acima".

Por uma **sequência** estamos nos referindo uma lista de números racionais
ordenados de acordo com uma regra ou um padrão indicado.

Limites a Esquerda e a Direita
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A sequência que havíamos escolhido era de valores menores que 2. Quando nós
dizemos que **x** se aproxima de 2 pela esquerda. Nós escrevemos:

.. MATH:: x \to 2^-

Mas nós podemos fácilmente contruir uma sequência de valores de **x** que
converge para 2 pela direita, isso é, uma sequência de valores que é maior do
que 2. Por exemplo:

.. MATH:: 2.2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001, ...

Nesse caso nós escrevemos:

.. MATH:: x \to 2^+

Novamente, não importa o quão pequeno um número seja, se seguirmos a
sequência o suficiente, o valor da diferença **|x - 2|** vai ser menor que
esse pequeno número. Assim como as diferenças subsequentes.

Mais uma vez, quando nós dizemos que uma variável **x** "aproxima-se de um
limite **l**" estamos dizendo que os valores de **x** ficam cada vez mais
próximos de de **l**. Embora os valores de **x** nunca sejam iguais a **l**.
O limite **l** é a fronteira que nenhum membro da sequência vai cruzar.

Vamos resumir isso numa definição. Mas primeiro, **x** não é a única
variável. **y** será uma variável em função de **x** -- f(x) -- que é também
uma variável. Quando nós chegarmos a definição de derivada, **Δx** ou **h**
vão ser a variável. Então vamos usar a letra **v** para representar qualquer
variável.

.. DEFINITION:: 2.1. O Limite de uma Variável

Dizemos que uma sequência de valores de uma variável **v** aproxima-se de um
número **l** como o **limite** se, começando por um certo termo da sequência
**|v - l|** (com nenhum termo da sequência sendo **v** igual a **l**), o
valor do termo e de qualquer termo subsequente que quisermos é menor que
qualquer número positivo que podemos imaginar. Quando essa condição é
satisfeita, dizemos que:

.. MATH:: v \to l

Logo, se **Δx** é a variável, e uma sequencia dos seus valores racionais se aproxima de um limite 0, dizemos que

.. MATH:: \Delta x \to 0

O Limite de uma Função
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Nós definimos o limite de uma variável, mas o que nós tipicamente temos é
uma função em uma variável, que é também uma variável. Por exemplo:

.. MATH:: y = f(x) = x^2

Logo, uma sequencia de valores de **x** vai forçar uma sequencia de valores
de **f(x)**. A questão é: se os valores de **x** aproximam-se de um limite,
os valores correspondentes de **f(x)** também vão se aproximar do limite? Se
esse é o caso -- se **f(x)** aproxima-se de um limite **L** quando **x**
aproxima-se de um limite **l** -- nós dizemos que:

.. MATH:: \lim_{x \to l} f(x) = L

.. CENTERED:: "O limite de *f(x)* quando *x* aproxima-se de *l* é *L*"

Na verdade, vamos ver o  que acontece com **f(x) = x²** as **x -> 2-**.
Suponha novamente que **x** assume essa sequencia de valores

.. MATH:: 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.99999, ...

Então **x²** vai assumir essa sequencia:

.. MATH:: (1.9)^2, (1.99)^2, (1.999)^2, (1.9999)^2, (1.99999)^2, ...

É fácil ver que **x²** aproxima-se de 2² = 4.

.. MATH:: \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4

Mais uma vez, isso significa que se tomarmos termos o bastante da sequência
de diferenças, **x² - 4**:

.. MATH:: (1.9)^2 − 4, (1.99)^2 − 4, (1.999)^2 − 4, (1.9999)^2 − 4, ...

O valor absoluto será menor que qualquer número positivo que pudermos
escolher. Não importa o quão pequeno.

Além disso, se considerarmos a sequência **x -> 2+**:

.. MATH:: 2.2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001, ...

Então os termos de **x² - 4** são:

.. MATH:: (2.2)² − 4, (2.1)² − 4, (2.01)² − 4, (2.001)² − 4, ...

Novamente, menores que qualquer pequeno número.

Se 4 é o limite de **f(x)** quando **x** se aproxima de 2 pela direita e pela
esquerda nós podemos omitir o **+** ou **-** e simplesmente dizer:

.. MATH:: \lim_{x \to 2} x^2 = 4

Para resumir:

.. RUBRIC:: Definição 2.2. Um função "tem um limite"

Dizemos que uma função **f(x)** "tem um limite" **L** quando **x**
aproxima-se, se para cada sequencia de valores de **x** que se aproxima-se
como um limite -- seja pela esquerda ou pela direita -- o valor de f(x)
aproxima-se de **L** como um limite.  (Definição 2.1)

.. TODO:: Ancorar "Definição 2.1".

Quando essa condição é satisfeita, nós dizemos:

.. MATH:: \lim_{x \to l} f(x) = L

.. CENTERED:: "O limite de *f(x)* quando *x* aproxima-se de *l* é *L*"

Em outras palavras, para o limite de **f(x)** existir quando **x** aproxima-se
de **l**, o limite da esquerda e o limite da direita precisam ser iguais.

.. MATH:: \lim_{x \to l} f(x) = L \quad \text{se e apenas se} \quad
   \lim_{x \to l^-} f(x) = L \quad \text{e} \quad \lim_{x \to l^+} f(x) = L

.. NOTE::

   Vamos ver que essa definição de limite de uma função existindo quando
   **x** aproxima-se de **l**, se torna a definição de uma função ser
   continua naquele valor -- se **L** é o valor da função ali, isso é se
   **L** = f(x). (Definição 3.)

.. TODO:: Ancorar "Definição 3"

O limite mais importante -- a razão de ser do cálculo diferencial -- é
chamado de **derivada**. Todos os outros limites estudas em Cálculo I são
jogos lógicos dos quais você nunca vai ouvir novamente.

Aqui está um exemplo de uma função que não aproxima-se de nenhum número como
limite:

.. MATH:: \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

Quando **x** se aproxima de 0 -- se tornando um número muito pequeno -- o
seu recíproco **1/x** se torna um número muito grande. Na verdade, ele vai
se tornar maior que qualquer número que quisermos. O valor de **1/x** aumenta
além de qualquer fronteira.

.. NOTE::

   Na lição 4, vamos aprender o que significa dizer que **1/x** se torna
   infinito.

.. TODO:: Ancorar "lição 4".
.. TODO:: Ancorar "torna infinito".

Agora vamos provar que um certo limite **existe**, digamos o limite de
**f(x) = x** quando **x** se aproxima de qualquer valor **c** (que **f(x)**
também de aproxima de **c** deve ser óbvio).

.. RUBRIC:: Teorema: Se **f(x) = x**, então para qualquer valor de **c**,

.. MATH:: \lim_{x \to c} f(x) = lim_{x \to c} x = c

.. TODO:: Imagem mostrando o gráfico de **f(x)** e o ponto **c**.

Logo, se uma sequencia de valores da **variável x** aproxima-se de **c** como
um limite (Definição 2.1), então a sequencia de valores da **função f(x) = x**
vai também aproximar-se de **c** como um limite (Definição 2.2). Por exemplo:

.. MATH:: \lim_{x \to -2} x = -2

.. TODO:: Ancorar "Definição 1".
.. TODO:: Ancorar "Definição 2".

Teoremas dos Limites
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Para nos ajudar a calcular limites, é possível provar o seguinte:

Sendo **f** e **g** funções da variável **x**, se existir:

.. MATH:: \lim_{x \to l} f(x) = A \quad \text{e} \quad \lim_{x \to l} g(x) = B

Então:

.. MATH::
   :nowrap:

   \begin{eqnarray}
       \lim_{x \to l} (f + g) &= A + B\\
       \lim_{x \to l} (fg) &= AB\\
       \lim_{x \to l} (\frac{f}{g}) &= \frac{A}{B}
   \end{eqnarray}

Em outras palavras:

- O limite da soma é igual a soma dos limites.
- O limite de um produto é igual ao produto dos limites.
- O limite de um quociente é igual ao quociente dos limites, dado que o limite
  do denominador seja diferente de 0.

Se **c** não depende de **x** -- se **c** é uma contante -- então:

.. MATH::
   :nowrap:

   \begin{eqnarray}
       \lim_{x \to l} c = c
   \end{eqnarray}

.. TODO:: Mudar número da equação para 4

Por exemplo:

.. MATH:: \lim_{x \to 4} 5 = 5

Para ver isso, faça **x** aproximar-se de:

.. MATH:: 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{4}, 4 \frac{1}{8}, 4 \frac{1}{16}, 4 \frac{1}{32}, ...

O valor de 5 -- ou qualquer outra constante -- não muda. É uma constante!

Quando **c** é um fator constante, mas **f** depende de **x**, então:

.. MATH:: \lim_{x \to l} cf = c \lim_{x \to l} f

.. TODO:: Mudar número da equação para 5

O fator constante pode sair do sinal de limite (isso segue dos teoremas 2 e
4). Por exemplo:

.. MATH:: \lim_{x \to l} 8x^3 = 8 \lim_{x \to l} x^3

.. TODO:: Incluir Exemplos e Problema.

Limites de Funções Polinomiais
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O estudante pode pensar que para avaliar o limite tudo o que fazemos é avaliar
a função naquele valor. E para a maior parte dos limites isso é verdade! Uma
das mais importantes classes de funções para a qual isso é verdade são as
funções polinomiais (Tópico 6 de Pré-Calculo). Uma função polinomial em **x**
tem essa forma geral:

.. TODO:: Ancorar "Topico 6 de Pré-Calculo".

.. MATH:: P(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + ... + a_1x + a_0 \quad \text{com} a_n \in \mathbb{Z} \quad \text{e} \ne 0

Portanto, de acordo com os teoremas do limite, para avaliar o limite de uma
polinomial quando **x** aproxima-se de qualquer valor **c**, simplesmente
avalie o polinomial naquele valor.

.. MATH::

   \text{Se $P(x)$ é um polinomial}\\
   \lim_{x \to c} P(x) = P(c)

(Nós veremos que isso é equivalente a dizer que funções polinomiais são
continuas. Definição 3)

.. TODO:: Ancorar "Definição 3".

É importante entender, portanto, que quando:

.. MATH:: \lim_{x \to c} P(x) = P(c)

A variável **x** nunca é igual a **c**, e que **P(x)** nunca é igual a
**P(c)**! Estamos nos aproximando de **c** e **P(c)** como limites. "Cada vez
mais". Apesar disso, nós podemos avaliar o limite apenas avaliando a função
em **c**.

.. TODO:: Incluir problemas e exemplos.