Questions
Are these systems linear? Time invariant?
⦁	y(t) = (x(t))1/2
Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
y'(t) = (ax(t))1/2
y''(t) = a(x(t))1/2
Como y'(t) é diferente de y''(t), a definição de homogeneidade não é satisfeita, logo,  o sistema NÃO é linear.
Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
y(t) = Fx(t)
y(t - T) = Fx(t - T)
y(t) = (x(t - T))1/2
y(t - T) = (x(t - T))1/2
Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.

⦁	y(t) = x(t)z(t) where z(t) is a known, non-zero signal
Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
y'(t) = (ax(t))z(t) = ax(t)z(t)
y''(t) = ax(t)z(t)
Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
Aditividade:  F(x + x') = F(x) + F(x')


Logo, o sistema é linear.
Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
y(t) = Fx(t)
y(t - T) = Fx(t - T)

⦁	y (t) = x(at)
Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
y'(t) = (ax(at)) = ax(at)
y''(t) = a(x(at)) = ax(at)
Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
Aditividade:  F(x + x') = F(x) + F(x')

Logo, o sistema é linear.
Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
y(t) = Fx(t)
y(t - T) = Fx(t - T)
y(t) = x(a(t -T))
y(t -T) = x(a(t-T))
Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.

⦁	y(t) = 0
Trivialmente, o sistema é linear pois o mesmo é uma constante em zero; invariante no tempo pois para qualquer instante T, o valor da saída sempre será zero.
⦁	y(t) = x(T - t)
Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
y'(t) = (ax(T - t)) = ax(T - t)
y''(t) = a(x(T - t)) = ax(T - t)
Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
Aditividade:  F(x + x') = F(x) + F(x')


Logo, o sistema é linear.
Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
y(t) = Fx(t)
y(t - T) = Fx(t - T)
y(t) = x(T - t - T) = x(-t)
y(t - T) = x(T - t - T) = x(-t)
Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
⦁	A linear system has inverse system FINV. Is FINV linear?