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a guest Sep 16th, 2019 77 Never
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  1. Questions
  2. Are these systems linear? Time invariant?
  3. ⦁ y(t) = (x(t))1/2
  4. Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
  5. Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
  6. Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
  7. y'(t) = (ax(t))1/2
  8. y''(t) = a(x(t))1/2
  9. Como y'(t) é diferente de y''(t), a definição de homogeneidade não é satisfeita, logo,  o sistema NÃO é linear.
  10. Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
  11. y(t) = Fx(t)
  12. y(t - T) = Fx(t - T)
  13. y(t) = (x(t - T))1/2
  14. y(t - T) = (x(t - T))1/2
  15. Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
  16.  
  17. ⦁ y(t) = x(t)z(t) where z(t) is a known, non-zero signal
  18. Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
  19. Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
  20. Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
  21. y'(t) = (ax(t))z(t) = ax(t)z(t)
  22. y''(t) = ax(t)z(t)
  23. Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
  24. Aditividade:  F(x + x') = F(x) + F(x')
  25.  
  26.  
  27. Logo, o sistema é linear.
  28. Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
  29. y(t) = Fx(t)
  30. y(t - T) = Fx(t - T)
  31.  
  32. ⦁ y (t) = x(at)
  33. Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
  34. Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
  35. Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
  36. y'(t) = (ax(at)) = ax(at)
  37. y''(t) = a(x(at)) = ax(at)
  38. Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
  39. Aditividade:  F(x + x') = F(x) + F(x')
  40.  
  41. Logo, o sistema é linear.
  42. Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
  43. y(t) = Fx(t)
  44. y(t - T) = Fx(t - T)
  45. y(t) = x(a(t -T))
  46. y(t -T) = x(a(t-T))
  47. Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
  48.  
  49. ⦁ y(t) = 0
  50. Trivialmente, o sistema é linear pois o mesmo é uma constante em zero; invariante no tempo pois para qualquer instante T, o valor da saída sempre será zero.
  51. ⦁ y(t) = x(T - t)
  52. Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
  53. Homogeneide:  F(ax) = aF(x),
  54. Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
  55. y'(t) = (ax(T - t)) = ax(T - t)
  56. y''(t) = a(x(T - t)) = ax(T - t)
  57. Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
  58. Aditividade:  F(x + x') = F(x) + F(x')
  59.  
  60.  
  61. Logo, o sistema é linear.
  62. Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
  63. y(t) = Fx(t)
  64. y(t - T) = Fx(t - T)
  65. y(t) = x(T - t - T) = x(-t)
  66. y(t - T) = x(T - t - T) = x(-t)
  67. Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
  68. ⦁ A linear system has inverse system FINV. Is FINV linear?
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