<?php

global $wpdb;

if ( isset( $_POST['submit'] ) ){

$servername = "localhost";
$username = "root";
$password = "****";
$dbname = "***";

// Create connection
$conn = new mysqli($servername, $username, $password, $dbname);
// Check connection
if ($conn->connect_error) {
    die("Connection failed: " . $conn->connect_error);
}

$user = $current_user->ID;
$time = new DateTime('now');

$reg_id = $wpdb->escape(trim($_POST['reg_id']));
$dato = $wpdb->escape(trim($_POST['$time']));
$fiske_vægt = $wpdb->escape(trim($_POST['fiske_vægt']));
$fiske_længde = $wpdb->escape(trim($_POST['fiske_længde']));
$reg_user_id = $wpdb->escape(trim($_POST['$user']));

$sql = $wpdb->insert( 'wp_registreringer',
    array(
        'dato' => apply_filters('pre_register_dato', $dato),
        'fiske_vægt' => apply_filters('pre_register_fiske_vægt', $fiske_vægt),
        'fiske_længde' => apply_filters('pre_register_fiske_længde', $fiske_længde),
        'reg_user_id' => apply_filters('pre_register_reg_user_id', $user)
        )
    );

$result = $conn->query($sql);

<form method="post">
    <h3>Don't have an account?<br /> Create one now.</h3>
    <p><label>længden</label></p>
    <p><input type="number" value="" name="fiske_længde" id="fiske_længde" />cm</p>
    <p><label>vægten</label></p>
    <p><input type="number" value="" name="fiske_vægt" id="fiske_vægt" />kg</p>
    <p><label>dato</label></p>
    <p><input type="datetime-local" name="dato" value="<?php echo date("Y-m-dTH:i:s",time()); ?>"/></p>
    <button type="submit" name="btnregister" class="button" >Submit</button>
    <input type="hidden" name="submit" value="submit" />
</form>

function wpse_283721_handle_form() {
    global $wpdb;

    if ( empty( $_POST['submit'] ) ) {
        return;
    }

    if ( ! is_user_logged_in() ) {
        return;
    }

    $current_user = wp_get_current_user();

    $fiske_vægt = trim( $_POST['fiske_vægt'] );
    $fiske_længde =  trim( $_POST['fiske_længde'] );

    $wpdb->insert(
        $wpdb->prefix . 'registreringer',
        array(
            'dato'         => new DateTime( 'now' ),
            'fiske_vægt'   => apply_filters( 'pre_register_fiske_vægt', $fiske_vægt ),
            'fiske_længde' => apply_filters( 'pre_register_fiske_længde', $fiske_længde ),
            'reg_user_id'  => $current_user->ID,
        )
    );
}
add_action( 'init', 'wpse_283721_handle_form' );