Advertisement
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up,
it unlocks many cool features!
- Alkuaskel:
- Kun n=0, \( \sum^n_{i=0}{2^i}= 2^0=1 \)
- ja \( 2^{n+1}-1 = 2-1=1\)
- Induktio-oletus:
- Oletetaan, että väite \( \sum^n_{i=0}{2^i}=2^{n+1}-1 \)pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
- Todistetaan, että väite pätee myös seuraavassa tapauksessa k+1.
- \( \sum^{k+1}_{i=0}{2^i} \\=\sum^{k}_{i=0}{2^i}+2^{k+1} \\=2^{k+1}-1+2^{k+1} \\=2 \cdot2^{k+1}-1 \\=2^{k+1+1}-1 \)
- Alkuaskeleesta ja induktio-oletuksesta voidaan I induktioperiaatteen perusteella päätellä, että väite \( \sum^n_{i=0}{2^i}=2^{n+1}-1 \) pätee.
- Alkuaskel:
- Kun n=0, \( \sum^n_{i=0}{i^2}=0^2 = 0 \)
- ja \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{0(0+1)(2n+1)}{6}=0/6=0 \)
- Induktio-oletus:
- Oletetaan, että väite \( \sum^n_{i=0}{i^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
- Todistetaan, että väite pätee myös seuraavassa tapauksessa k+1:
- \( \sum^{k+1}_{i=0}{i^2} \\=\sum^{k+1}_{i=0}{i^2}+ (k+1) \\=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)² \\=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1)²}{6} \\=\frac{(k+1)(2k²+k+6k+6)}{6} \\=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \\=\frac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6} \)
- Alkuaskeleen ja induktio-oletuksen perusteella voidaan I induktioperiaatteen mukaan päätellä, että väite \( \sum^n_{i=0}{i^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) pätee.
- Alkuaskel:
- Kun n=0,
- \( \sum^n_{i=0}{i^3}=0^3 =0\)
- ja \( \frac{n^"(n+1)^2}{4}=0/4=0 \)
- Induktio-oletus:
- Oletetaan, että väite
- \( \sum^n_{i=0}{i^3}= \frac{n^"(n+1)^2}{4} \)
- pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
- Todistetaan, että lause pätee seuraavassa tapauksessa k+1:
- \( \sum^n_{i=0}{i^3} \\=\sum^n_{i=0}{i^3}+(k+1)^3 \\=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 \\=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} \\=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \)
- Alkuaskeleen ja induktio-oletuksen perusteella voidaan I induktioperiaatteen mukaan päätellä, että väite \( \sum^n_{i=0}{i^3} = \frac{n^"(n+1)^2}{4}\) pätee.
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement