Advertisement
Guest User

jee laTex

a guest
Jan 18th, 2017
66
0
Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
text 1.90 KB | None | 0 0
  1. Alkuaskel:
  2. Kun n=0, \( \sum^n_{i=0}{2^i}= 2^0=1 \)
  3.  
  4. ja \( 2^{n+1}-1 = 2-1=1\)
  5.  
  6.  
  7.  
  8. Induktio-oletus:
  9.  
  10. Oletetaan, että väite \( \sum^n_{i=0}{2^i}=2^{n+1}-1 \)pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
  11.  
  12.  
  13.  
  14. Todistetaan, että väite pätee myös seuraavassa tapauksessa k+1.
  15.  
  16. \( \sum^{k+1}_{i=0}{2^i} \\=\sum^{k}_{i=0}{2^i}+2^{k+1} \\=2^{k+1}-1+2^{k+1} \\=2 \cdot2^{k+1}-1 \\=2^{k+1+1}-1 \)
  17.  
  18.  
  19.  
  20. Alkuaskeleesta ja induktio-oletuksesta voidaan I induktioperiaatteen perusteella päätellä, että väite \( \sum^n_{i=0}{2^i}=2^{n+1}-1 \) pätee.
  21.  
  22.  
  23.  
  24. Alkuaskel:
  25.  
  26. Kun n=0, \( \sum^n_{i=0}{i^2}=0^2 = 0 \)
  27.  
  28. ja \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{0(0+1)(2n+1)}{6}=0/6=0 \)
  29.  
  30.  
  31.  
  32. Induktio-oletus:
  33.  
  34. Oletetaan, että väite \( \sum^n_{i=0}{i^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
  35.  
  36.  
  37. Todistetaan, että väite pätee myös seuraavassa tapauksessa k+1:
  38.  
  39. \( \sum^{k+1}_{i=0}{i^2} \\=\sum^{k+1}_{i=0}{i^2}+ (k+1) \\=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)² \\=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1)²}{6} \\=\frac{(k+1)(2k²+k+6k+6)}{6} \\=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \\=\frac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6} \)
  40.  
  41.  
  42.  
  43. Alkuaskeleen ja induktio-oletuksen perusteella voidaan I induktioperiaatteen mukaan päätellä, että väite \( \sum^n_{i=0}{i^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) pätee.
  44.  
  45.  
  46. Alkuaskel:
  47.  
  48. Kun n=0,
  49.  
  50. \( \sum^n_{i=0}{i^3}=0^3 =0\)
  51.  
  52. ja \( \frac{n^"(n+1)^2}{4}=0/4=0 \)
  53.  
  54.  
  55. Induktio-oletus:
  56.  
  57. Oletetaan, että väite
  58.  
  59. \( \sum^n_{i=0}{i^3}= \frac{n^"(n+1)^2}{4} \)
  60.  
  61. pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
  62.  
  63.  
  64.  
  65. Todistetaan, että lause pätee seuraavassa tapauksessa k+1:
  66.  
  67. \( \sum^n_{i=0}{i^3} \\=\sum^n_{i=0}{i^3}+(k+1)^3 \\=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 \\=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} \\=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \)
  68.  
  69.  
  70.  
  71. Alkuaskeleen ja induktio-oletuksen perusteella voidaan I induktioperiaatteen mukaan päätellä, että väite \( \sum^n_{i=0}{i^3} = \frac{n^"(n+1)^2}{4}\) pätee.
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement