In [16]: integrate(exp(-x)*erf(x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[16]: 1/4 (-erf(1/2) + 1)⋅ℯ In [17]: integrate(exp(-x)*erf(sqrt(x)), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[17]: ⎽⎽⎽ ╲╱ 2 ───── 2 In [8]: integrate(besselj(a, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[8]: ⎧ ⎛a⎞ 1 ⎪ 1 for - re⎜─⎟ + ─ < 1 ⎪ ⎝2⎠ 2 ⎪ ⎨∞ ⎪⌠ ⎪⎮ besselj(a, x) dx otherwise ⎪⌡ ⎩0 In [9]: integrate(exp(-x)*besselj(a, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[9]: ⎧ ⎛ ⎛ ⎛ 2 2⋅(-2⋅a + 3)⎞ ⎞ ⎞ ⎪ ⎜ ⎜3⋅⎜───── + ────────────⎟ ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎪ ⎜ ⎽⎽⎽ ⎛a ⎞ ⎜ ⎝a - 2 a⋅(-2⋅a + 4)⎠ 4⋅⎝6⋅a - 12⋅a + 3⎠ ⎟ ⎛ ⎛a ⎞ ⎛ ⎽⎽⎽⎞⎞ ⎟ ⎪ ⎜╲╱ 2 ⋅⎜─ - 1⎟⋅⎜──────────────────────── - ───────────────────────⎟⋅sinh⎜2⋅⎜─ - 1⎟⋅log⎝1 + ╲╱ 2 ⎠⎟ ⎛ ⎛ a - 2⎞ ⎞ ⎟ ⎪ ⎜ ⎝2 ⎠ ⎜ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎠ ⎜3⋅⎜1 + ─────⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎪ ⎽⎽⎽ ⎜ ⎝ a - 1 ⎝- a + 1⎠⋅⎝4⋅a - 8⋅a⎠⎠ ⎜ ⎝ 2⋅a ⎠ 4⋅a - 9⋅a + 2⎟ ⎛ ⎛a ⎞ ⎛ ⎽⎽⎽⎞⎞⎟ ⎛a ⎞ ⎪ 2⋅╲╱ π ⋅⎜───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ⎜───────────── - ──────────────⎟⋅cosh⎜2⋅⎜─ - 1⎟⋅log⎝1 + ╲╱ 2 ⎠⎟⎟⋅Γ⎜─ + 1⎟ ⎛ ⎽⎽⎽ ⎛a 1⎞ ⎛ ⎛a 1⎞ ⎛ ⎽⎽⎽⎞⎞ ⎞ ⎪ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎛ 2 ⎞⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎠⎟ ⎝2 ⎠ ⎜╲╱ 2 ⋅⎜─ - ─⎟⋅sinh⎜2⋅⎜─ - ─⎟⋅log⎝1 + ╲╱ 2 ⎠⎟ ⎟ ⎪ ⎝ ⎝ a - 1 2⋅a⋅⎝- a + 1⎠⎠ ⎠ ⎽⎽⎽ ⎜ ⎝2 2⎠ ⎝ ⎝2 2⎠ ⎠ ⎛ ⎛a 1⎞ ⎛ ⎽⎽⎽⎞⎞⎟ ⎪- ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ╲╱ π ⋅⎜──────────────────────────────────────────── + cosh⎜2⋅⎜─ - ─⎟⋅log⎝1 + ╲╱ 2 ⎠⎟⎟ ⎪ ⎛a⎞ ⎝ a - 1 ⎝ ⎝2 2⎠ ⎠⎠ ⎨ Γ⎜─⎟ ⎪ ⎝2⎠ ⎪──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── f ⎪ ⎽⎽⎽ ⎪ ╲╱ π ⎪ ⎪ ∞ ⎪ ⌠ ⎪ ⎮ -x ⎪ ⎮ ℯ ⋅besselj(a, x) dx ⎪ ⌡ ⎩ 0 ⎛a⎞ 1 ⎛a⎞ or 0 < re⎜─⎟ + ─ ∧ 0 < re⎜─⎟ + 1 ⎝2⎠ 2 ⎝2⎠ otherwise In [10]: integrate(exp(-x)*besselj(10, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[10]: ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽ 3363⋅╲╱ 2 ⋅╲╱ π - 2378⋅╲╱ π + ──────────────── 2 ─────────────────────────────── ⎽⎽⎽ ╲╱ π In [15]: timeit clear_cache();integrate(exp(-x)*besselj(10, x), (x, 0, oo), meijerg=True) 1 loops, best of 3: 2.62 s per loop In [16]: timeit clear_cache();integrate(exp(-x)*besselj(a, x), (x, 0, oo), meijerg=True) 1 loops, best of 3: 1.38 s per loop In [18]: integrate(erf(x)*besselj(a, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[18]: ⎧ ⎛ a 1 a 1 │ ⎞ ⎪╭─╮1, 2 ⎜- ─ + ─, 1 ─ + ─ │ ⎟ ⎪│╶┐ ⎜ 2 2 2 2 │ 4⎟ ⎪╰─╯3, 2 ⎜ │ ⎟ ⎪ ⎝ 1/2 0 │ ⎠ ⎛a⎞ ⎪─────────────────────────────── for 0 < re⎜─⎟ + 1 ⎪ ⎽⎽⎽ ⎝2⎠ ⎨ ╲╱ π ⎪ ⎪ ∞ ⎪ ⌠ ⎪ ⎮ besselj(a, x)⋅erf(x) dx otherwise ⎪ ⌡ ⎪ 0 ⎩ In [19]: integrate(erf(x)*besselj(0, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[19]: ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽ - ╲╱ π ⋅erf(1/2) + ╲╱ π ──────────────────────── ⎽⎽⎽ ╲╱ π In [20]: integrate(erf(x)*besselj(1, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[20]: -1/8 ℯ ⋅besseli(0, -1/8) In [21]: integrate(erf(x)*besselj(10, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[21]: -1/4 ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽ - 1913284⋅ℯ - ╲╱ π ⋅erf(1/2) + ╲╱ π + 1490068 ────────────────────────────────────────────────── ⎽⎽⎽ ╲╱ π In [22]: timeit clear_cache();integrate(erf(x)*besselj(10, x), (x, 0, oo), meijerg=True) 1 loops, best of 3: 7.45 s per loop In [23]: integrate(log(x)*exp(-x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[23]: ╭─╮2, 1 ⎛ 0 1, 1 │ ⎞ ╭─╮0, 3 ⎛0, 1, 1 │ ⎞ - │╶┐ ⎜ │ 1⎟ + │╶┐ ⎜ │ 1⎟ ╰─╯3, 2 ⎝0, 0 │ ⎠ ╰─╯3, 2 ⎝ 0, 0 │ ⎠ In [25]: hyperexpand(_, allow_hyper=True) Out[25]: -EulerGamma In [28]: integrate(exp(-x)*besselj(1, x)*besselj(0, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[28]: ╭─╮1, 4 ⎛1/2, 0, 0, 1/2 │ ⎞ │╶┐ ⎜ │ 4⎟ ╰─╯4, 4 ⎝ 1/2 -1/2, -1/2, 1/2 │ ⎠ ───────────────────────────────────────────── π In [29]: integrate(exp(-x**2)*besselj(1, x)*besselj(0, x), (x, 0, oo), meijerg=True) Out[29]: -1/2 ℯ ⋅besseli(0, -1/2) 1 - ────────────────────── + ─ 2 2 In [30]: timeit clear_cache();integrate(exp(-x**2)*besselj(1, x)*besselj(0, x), (x, 0, oo), meijerg=True) 1 loops, best of 3: 464 ms per loop In [33]: integrate(besselj(a, x)*besselj(b, x)/x, (x, 0, oo), meijerg=True) Out[33]: ⎧ ⎛π⋅a π⋅b⎞ ⎪ 2⋅sin⎜─── - ───⎟ ⎪ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛a b⎞ ⎪ ───────────────── for - re⎜─ + ─⎟ + 1 < 1 ⎪ π⋅(a - b)⋅(a + b) ⎝2 2⎠ ⎪ ⎨∞ ⎪⌠ ⎪⎮ besselj(a, x)⋅besselj(b, x) ⎪⎮ ─────────────────────────── dx otherwise ⎪⎮ x ⎪⌡ ⎩0 In [36]: inverse_laplace_transform(a**nu*(s+sqrt(s**2-a**2))**(-nu)/sqrt(s**2-a**2), s, t) Out[36]: ν 1 - ─ + ─ 2 2 ν ⎛ 2⎞ ⅈ⋅a ⋅⎝a ⎠ ⋅│t│⋅Heaviside(t)⋅besseli(ν, -a⋅t) ────────────────────────────────────────────────── ⎽⎽⎽⎽⎽ ╱ 2 t⋅╲╱ -a In [37]: timeit clear_cache();inverse_laplace_transform(a**nu*(s+sqrt(s**2-a**2))**(-nu)/sqrt(s**2-a**2), s, t) 1 loops, best of 3: 772 ms per loop