In [4]: integrate(sin(x), x, meijerg=True) Out[4]: -cos(x) In [5]: integrate(x**5*sin(x), x, meijerg=True) Out[5]: 5 4 3 2 - x ⋅cos(x) + 5⋅x ⋅sin(x) + 20⋅x ⋅cos(x) - 60⋅x ⋅sin(x) - 120⋅x⋅cos(x) + 120⋅sin(x) In [7]: timeit clear_cache();integrate(x**5*sin(x), x, meijerg=True) 10 loops, best of 3: 143 ms per loop In [9]: timeit integrate(x**5*sin(x), x, meijerg=False) 1 loops, best of 3: 2.23 s per loop In [12]: integrate(sin(x)*exp(-x), x, meijerg=True) Out[12]: -x - ⅈ⋅x -x + ⅈ⋅x ⅈ⋅ℯ ⅈ⋅ℯ - ───────────────────────── + ───────────────── (-1 - ⅈ)⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2 (-1 + ⅈ) ⋅(1 + ⅈ) In [14]: timeit clear_cache();integrate(sin(x)*exp(-x), x, meijerg=True) 1 loops, best of 3: 1.37 s per loop In [15]: timeit clear_cache();integrate(sin(x)*exp(-x), x, meijerg=False) 1 loops, best of 3: 301 ms per loop In [18]: integrate(x**4*erf(x), x, meijerg=True) Out[18]: 2 2 2 5 4 -x 2 -x -x x ⋅erf(x) x ⋅ℯ 2⋅x ⋅ℯ 2⋅ℯ ───────── + ─────── + ───────── + ─────── 5 ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽ 5⋅╲╱ π 5⋅╲╱ π 5⋅╲╱ π In [19]: timeit clear_cache();integrate(x**4*erf(x), x, meijerg=True) 1 loops, best of 3: 267 ms per loop In [20]: _18.diff(x) Out[20]: 4 x ⋅erf(x) In [38]: integrate(erf(x**3), x, meijerg=True) Out[38]: ⎛ 3⎞ ⎛ 6⎞ 2⋅x⋅erf⎝x ⎠⋅Γ(2/3) 2⋅Γ(2/3)⋅γ⎝2/3, x ⎠ - ────────────────── - ─────────────────── 3⋅Γ(5/3) ⎽⎽⎽ 3⋅╲╱ π ⋅Γ(5/3) In [40]: integrate(x*besselj(0, x), x, meijerg=True) Out[40]: x⋅besselj(1, x) In [41]: integrate(x*besselj(1, x**2), x, meijerg=True) Out[41]: ⎛ 2⎞ -besselj⎝0, x ⎠ ─────────────── 2 In [42]: integrate(x*besselj(1, x), x, meijerg=True) Out[42]: ⎛ │ 2⎞ ╭─╮1, 1 ⎜ 1 │ x ⎟ 2⋅│╶┐ ⎜ │ ──⎟ ╰─╯1, 3 ⎝3/2 1/2, 0 │ 4 ⎠ In [43]: integrate(log(x)*besselj(1, x), x, meijerg=True) Out[43]: ⌠ ⎮ log(x)⋅besselj(1, x) dx ⌡ In [48]: integrate(sin(x)*cos(x)*exp(-x), x, meijerg=True) Out[48]: ⎛ ⅈ⋅π ⎞ ⎛ -ⅈ⋅π ⎞ ⎛ ⅈ⋅π ⎞ -ⅈ⋅π ⎜ ─── ⎟ ⅈ⋅π ⎜ ──── ⎟ -ⅈ⋅π ⎜ ─── ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ──── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ─── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ──── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ───────────────────── ⋅ℯ ⋅sinh⎜─────────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ──────────────────── ⋅ℯ ⋅sinh⎜────────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ──────────────────── ⋅ℯ ⋅sinh⎜────────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ╱ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ╱ ⎜ ────⎟ ⎜2⋅ ╱ ───────────────────── ⎟ ╱ ⎜ ───⎟ ⎜2⋅ ╱ ──────────────────── ⎟ ╱ ⎜ ────⎟ ⎜2⋅ ╱ ──────────────────── ⎟ ╱ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎜ ╱ ⎜ ────⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ───⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ────⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎝ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ⎝ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ⎝ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ - ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── - ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ─────────────── 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) ⎛ -ⅈ⋅π ⎞ ⎛ ⅈ⋅π ⎞ ⎛ -ⅈ⋅π ⎞ ⅈ⋅π ⎜ ──── ⎟ -ⅈ⋅π ⎜ ─── ⎟ ⅈ⋅π ⎜ ──── ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ─── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ──── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ─── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 ─────────────────── ⋅ℯ ⋅sinh⎜───────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ───────────────────── ⋅ℯ ⋅cosh⎜─────────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ──────────────────── ⋅ℯ ⋅cosh⎜────────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ────────────────── 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π ⎜ ───⎟ ⎜2⋅ ╱ ─────────────────── ⎟ ╱ ⎜ ────⎟ ⎜2⋅ ╱ ───────────────────── ⎟ ╱ ⎜ ───⎟ ⎜2⋅ ╱ ──────────────────── ⎟ ╱ ⎜ ──── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎜ ╱ ⎜ ───⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ────⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ───⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎝ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ⎝ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ⎝ ╲╱ ⎝-2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ───────────────────────────────────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── - ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ─────────────────────────────────── 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2⋅ ⎛ ⅈ⋅π ⎞ ⎛ -ⅈ⋅π ⎞ -ⅈ⋅π ⎜ ─── ⎟ ⅈ⋅π ⎜ ──── ⎟ ⎽⎽⎽ ──── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ─── ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ⎽⎽⎽ ╱ 1 4 ⎜ ╲╱ 2 ⋅x⋅ℯ ⎟ ── ⋅ℯ ⋅cosh⎜────────────────────────────────⎟ ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ ╱ ─────────────────── ⋅ℯ ⋅cosh⎜───────────────────────────────⎟ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ╱ 2 ⎜ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎟ ⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎜ ╱ 1 ⎟ ⎟ ⎜2⋅ ╱ ──────────────────── ⎟ ╱ ⎜ ───⎟ ⎜2⋅ ╱ ─────────────────── ⎟ ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎜ ╱ 2 ⎟ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ -ⅈ⋅π⎞ ⎟ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎜ ╱ ⎛ ⅈ⋅π⎞ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ────⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ───⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ╱ ⎜ ⎽⎽⎽ 4 ⎟ ⎟ ⎝ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ⎝ ╲╱ ⎝2 + ╲╱ 2 ⋅ⅈ⋅ℯ ⎠ ⎠ ──────────────────────────────────────────────── - ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── (-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ) 2⋅(-1 + ⅈ)⋅(1 + ⅈ)