In [2]: mellin_transform(log(x)/(x + 1), x, s)
Out[2]: 
⎛  ╭─╮3, 1 ⎛   -s + 1     1, 1 │  ⎞   ╭─╮1, 3 ⎛-s + 1, 1, 1       │  ⎞              ⎞
⎜- │╶┐     ⎜                   │ 1⎟ + │╶┐     ⎜                   │ 1⎟, (0, 1), True⎟
⎝  ╰─╯3, 3 ⎝-s + 1, 0, 0       │  ⎠   ╰─╯3, 3 ⎝   -s + 1     0, 0 │  ⎠              ⎠

In [3]: hyperexpand(_[0], allow_hyper=True)
Out[3]: 
                                                                                     2  ┌─  ⎛-s + 1, -s + 1, 1 │   ⎞           2  ┌─  ⎛1, -s + 1, -s + 1 │   ⎞
                                                                            Γ(-s + 1) ⋅ ├─  ⎜                  │ -1⎟   Γ(s - 1) ⋅ ├─  ⎜                  │ -1⎟
                                                                                       3╵ 2 ⎝  -s + 2, -s + 2  │   ⎠             3╵ 2 ⎝  -s + 2, -s + 2  │   ⎠
s⋅Γ(-s)⋅Γ(s)⋅polygamma(0, -s) - s⋅Γ(-s)⋅Γ(s)⋅polygamma(0, s) - Γ(-s)⋅Γ(s) + ──────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────────
                                                                                                    2                                       2                 
                                                                                           Γ(-s + 2)                                    Γ(s)                  

In [4]: mellin_transform(exp(-x)*besselk(a, x), x, s)
Out[4]: 
⎛           ⎛  a   s      a   s        │  ⎞                               ⎞
⎜ s ╭─╮2, 2 ⎜- ─ - ─ + 1, ─ - ─ + 1    │  ⎟                               ⎟
⎜2 ⋅│╶┐     ⎜  2   2      2   2        │ 1⎟                               ⎟
⎜   ╰─╯2, 2 ⎜                          │  ⎟                               ⎟
⎜           ⎝        0, 1/2            │  ⎠                               ⎟
⎜──────────────────────────────────────────, (Max(-re(a), re(a)), ∞), True⎟
⎜                     ⎽⎽⎽                                                 ⎟
⎝                 4⋅╲╱ π                                                  ⎠

In [5]: hyperexpand(_[0], allow_hyper=True)
Out[5]: 
   ⎛                               ⎛a   s    a   s │  ⎞                                            ⎛a   s   1    a   s   1 │  ⎞⎞
 s ⎜  ⎽⎽⎽  ⎛  a   s⎞  ⎛a   s⎞  ┌─  ⎜─ + ─, - ─ + ─ │  ⎟       ⎽⎽⎽  ⎛  a   s   1⎞  ⎛a   s   1⎞  ┌─  ⎜─ + ─ + ─, - ─ + ─ + ─ │  ⎟⎟
2 ⋅⎜╲╱ π ⋅Γ⎜- ─ + ─⎟⋅Γ⎜─ + ─⎟⋅ ├─  ⎜2   2    2   2 │ 1⎟ - 2⋅╲╱ π ⋅Γ⎜- ─ + ─ + ─⎟⋅Γ⎜─ + ─ + ─⎟⋅ ├─  ⎜2   2   2    2   2   2 │ 1⎟⎟
   ⎜       ⎝  2   2⎠  ⎝2   2⎠ 2╵ 1 ⎜               │  ⎟            ⎝  2   2   2⎠  ⎝2   2   2⎠ 2╵ 1 ⎜                       │  ⎟⎟
   ⎝                               ⎝     1/2       │  ⎠                                            ⎝         3/2           │  ⎠⎠
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                ⎽⎽⎽                                                             
                                                            4⋅╲╱ π                                                              

In [6]: mellin_transform(besselj(b, x)*besselk(a, x), x, s)
Out[6]: 
⎛           ⎛  b   s      b   s     │  ⎞                                               ⎞
⎜           ⎜- ─ - ─ + 1  ─ - ─ + 1 │  ⎟                                               ⎟
⎜ s ╭─╮2, 1 ⎜  2   2      2   2     │  ⎟                                               ⎟
⎜2 ⋅│╶┐     ⎜                       │ 1⎟                                               ⎟
⎜   ╰─╯2, 2 ⎜   a  -a               │  ⎟                                               ⎟
⎜           ⎜   ─, ──               │  ⎟                                               ⎟
⎜           ⎝   2  2                │  ⎠                                               ⎟
⎜───────────────────────────────────────, (Max(-re(a) - re(b), re(a) - re(b)), ∞), True⎟
⎝                   4                                                                  ⎠

In [7]: hyperexpand(_[0], allow_hyper=True)
Out[7]: 
   ⎛                        ⎛a   b   s  a   b   s │   ⎞                            ⎛  a   b   s    a   b   s │   ⎞⎞
   ⎜       ⎛a   b   s⎞  ┌─  ⎜─ + ─ + ─, ─ - ─ + ─ │   ⎟         ⎛  a   b   s⎞  ┌─  ⎜- ─ + ─ + ─, - ─ - ─ + ─ │   ⎟⎟
   ⎜Γ(-a)⋅Γ⎜─ + ─ + ─⎟⋅ ├─  ⎜2   2   2  2   2   2 │ -1⎟   Γ(a)⋅Γ⎜- ─ + ─ + ─⎟⋅ ├─  ⎜  2   2   2    2   2   2 │ -1⎟⎟
   ⎜       ⎝2   2   2⎠ 2╵ 1 ⎜                     │   ⎟         ⎝  2   2   2⎠ 2╵ 1 ⎜                         │   ⎟⎟
 s ⎜                        ⎝       a + 1         │   ⎠                            ⎝         -a + 1          │   ⎠⎟
2 ⋅⎜─────────────────────────────────────────────────── + ────────────────────────────────────────────────────────⎟
   ⎜                  ⎛  a   b   s    ⎞                                        ⎛a   b   s    ⎞                    ⎟
   ⎜                 Γ⎜- ─ + ─ - ─ + 1⎟                                       Γ⎜─ + ─ - ─ + 1⎟                    ⎟
   ⎝                  ⎝  2   2   2    ⎠                                        ⎝2   2   2    ⎠                    ⎠
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                         4