print("Sacha Stefanelli")
print("Nathan Ricard")
print("Jules Farin")
print("")
print("Sujet 1. Cocyclicité de quatre points")
print("")
print("Exercice 1 : ")
print("")

reset()
R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 'x,y', order='invlex')
x=var('x')
f1 = (4*y^2-12*y+1)*x^3+(20*y^2-58*y+13)*x^2+(y+14)*x+(-5*y^2-50*y-70)
f2 = (-9*y-20)*x^3+(-65*y-97)*x^2+(y^3-3*y^2-99*y+55)*x+(5*y^3-19*y^2+y+248)

I = (f1, f2)*R
print("On note f1 et f2 les deux equations du système a résoudre. Après avoir crée la base de Grobner formée a partir de l'idéal des deux polynomes, on recupere G1, G2 et G3, les trois equations de la bases de Groebner engendré par f1 et f2")
print("Base de Groebner de I=<f1,f2>")
Gbase = (I).groebner_basis()
show(Gbase)
G1, G2, G3 = (I).groebner_basis()
print("")
print("Apres ceci, on remarque que le polynome G3 n'a que 'x' comme variables, on resouds donc G3(x)=0 avec la fonction 'G3.univariate_polynomial().roots()' et on trouve comme solutions : ")
show(G3.univariate_polynomial().roots())
print("Donc -5 est la seul racine de G3 et elle est simple")
print("")
print("On remplace donc x par -5 dans les equations f1 et f2 et on trouve comme solutions : ")

f(x,y) = f1
g(x,y) = f2
H1 = f(-5,y)
H2 = g(-5,y)
print("On resouds f1(-5,y)=0")
show(solve(H1==0,y))
print("On resouds f2(-5,y)=0")
show(solve(H2==0,y))

print("Les solutions du système sont donc : (-5,-4) et (-5,3)")