\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}


\title{Типовой расчёт по теории вероятностей}

\author{Коноплич Георгий Викторович, гр. 3537\\Вариант 7}


\begin{document}
\maketitle

\textbf{Задача 1.}\\
Устройство секретного замка включает в себя четыре ячейки. В первой ячейке осуществляется набор одной из пяти букв: A, B, C, D, E, в каждой из трех остальных - одной из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (цифры могут повторяться). Чему равна вероятность того, что замок будет открыт с первого раза?\\

\textbf{Решение:}\\
Событие А, вероятность которого нам надо найти состоит из одного элемента: правильный пароль. $card \Omega$ - число комбинаций четырех ячеек.\\

$P(A) = \frac{card A}{card \Omega} = \frac{1}{5*10*10*10} = \frac{1}{5000}$\\

\textbf{Ответ:} 0.0002\\

\textbf{Задача 2.}\\
На отрезке AB наудачу ставятся две точки M и  L. Найти вероятность того, что L будет ближе к точке А, чем к точке M.\\

\textbf{Решение:}\\
Пусть x = |AL|, y = |AM|, l = |AB|. Исход интерпретируем как точку (x, y). Множество всех элементарных исходов $ \Omega = \left \{  (x, y): 0 \leq  x, y \leq  l \right \}$. Нашему событию благоприятны исходы, если $y > 2x$. Итак, область D благоприятных исходов имеет вид $D = \left \{ (x, y): 0 \leq  x, y \leq  l, y > 2x  \right \}$\\
$P(D) = \frac{m(D)}{m( \Omega)} =  \frac{\frac{l}{2} * l * \frac{1}{2}}{l^{2}} = 0.25$


\textbf{Ответ:} 0.25\\

\textbf{Задача 3.}\\
Среди трех игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестерка появляется с вероятностью 1/3. Бросили две случайно выбранные кости. Выпали две шестерки. Какова вероятность того, что среди брошенных костей была фальшивая?\\

\textbf{Решение:}\\
Пусть А - событие, что выпали две шестерки. $H_{i}$ - событие, что случайно выбрали $i$ фальшивых костей, $i = 0, 1$. Тогда:\\
$P(H_{0}) = \frac{1}{3}, P(H_{1}) = \frac{2}{3}$\\
$P(A|H_{0}) = \frac{1}{36}, P(A|H_{1}) = \frac{1}{18}$\\
$P(H_{1}|A) = \frac{P(H_{1}) * P(A|H_{1})}{\sum_{i = 0}^{1} P(H_{i}) * P(A|H_{i})} = \frac{4}{5}$



\textbf{Ответ:} 0.8\\

\textbf{Задача 4.}\\
Радиолокационная станция ведет наблюдение за шестью объектами в течение некоторого промежутка времени. Контакт с каждым из них может быть потерен с вероятностью 0.2. Найти вероятность того, что хотя бы с тремя объектами контакт будет поддерживаться в течение этого промежутка времени. \\

\textbf{Решение:}\\
$P_{n}(m_{1}, m_{2}) = \sum_{m=m_{1}}^{m_{2}} C_{n}^{m} * p^{m} * q^{n-m}$\\
\\
A - событие, что контакт со станцией поддерживается. $p = p(A) = 0.8, q = 1 - p = 0.2, n = 6.$ Тогда:\\
\\
$P_{6}(3, 6) = C_{6}^{3} * 0.8^{3} * 0.2^{3} + C_{6}^{4} * 0.8^{4} * 0.2^{2} + C_{6}^{5} * 0.8^{5} * 0.2^{1} + C_{6}^{6} * 0.8^{6} * 0.2^{0} = 0.98304$

\textbf{Ответ:} 0.98304\\



\end{document}