Билет -13-
1. Подалгебры. Вторая теорема об изоморфизмах. Прямое произведение алгебрю
2. Дан многочлен x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Проверить его неприводимость над полем Z2 и расширением Z2 с включением корня многочлена. Найти образующие элементы мультипликативной подгруппы поля.

  1) Достаточно поделить данный многочлен на 15 многочленов меньшей степени, причем X^4, X^3, X^2, X и 1 можно не проверять. X + X = 0!
  2) Расширение будет выглядеть так: {0,1,a,a^2,a^3}. Неприводимость многочлена следует из теории.
  3) Нужно построить поле Галуа с 2^4 степени элементов: GF(16). Для этого надо составит таблицу умножения элементов — 1, a, a + 1, a^2, a^2 + 1, a^2 + a, a^2 + a + 1, a^3, a^3 + 1, a^3 + a, a^3 + a + 1, a^3 + a^2, a^3 + a^2 + 1, a^3 + a^2 + a, a^3 + a^2 + a + 1 — а затем найти элементы, возведение которых в 15 степень даст единицу. НО ОТ НАС НЕ ТРЕБУЮТ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕЙ ТАБЛИЦЫ!!! Поэтому можно поступить следующим образом: в Z15 образующими являются элементы порядка 1 2 4 7 8 11 13 14 - числа взаимно простые с 15. Т.е. достаточно найти ОДИН образующий элемент и сказать, что возведение в перечисленные степени даст остальные образующие элементы. Один из образующих элементов — 1 + a. Достаточно рассмотреть его все его произведения на остальные элементы и затем возвести в 15 степень.

Задача 2
Общая алгебра
4. Рассмотреть максимальные идеалы кольца непрерывных функций определенных на [0,1]: С[0,1] (Чебышевской пространство)

  Зададим следующий идеал: I(x0) = {такие f, что f(x0) = 0}, x0 принадлежит [0,1].
  Это идеал, так как умножение на любую другую функцию дает 0 в точке f(x0).
  Максимальность докажем от противного. Предположим существует идеал J такой, что I принадлежит J, а J принадлежит C. Тогда существует функция g(x) принадлежащая J, но не принадлежащая I, Тогда g(x0) не равно нулю. Пусть g(x0) = a. Зададим функцию t(x): t(x) = g(x) - a.
t(x0) = 0, т.е. t(x) принадлежит I => t(x) принадлежит J. t(x) - g(x) = -a => элементы внутри идеалов можно складывать, значит мы получили константную функцию -a в J. Умножим её на -a^-1 b и получим константную единицу в J. Следовательно J = C => противоречие.