>> H1 = 1;
>> H2 = [H1,H1;H1,-H1];
>> H4 = [H2,H2;H2,-H2];
>> H8 = [H4,H4;H4,-H4]

H8 =

     1     1     1     1     1     1     1     1
     1    -1     1    -1     1    -1     1    -1
     1     1    -1    -1     1     1    -1    -1
     1    -1    -1     1     1    -1    -1     1
     1     1     1     1    -1    -1    -1    -1
     1    -1     1    -1    -1     1    -1     1
     1     1    -1    -1    -1    -1     1     1
     1    -1    -1     1    -1     1     1    -1

>> I8 = eye(8);
>> H8 * I8(:,[1,2,3])

ans =

     1     1     1
     1    -1     1
     1     1    -1
     1    -1    -1
     1     1     1
     1    -1     1
     1     1    -1
     1    -1    -1

>> H8 * I8(:,[2,3,5])

ans =

     1     1     1
    -1     1     1
     1    -1     1
    -1    -1     1
     1     1    -1
    -1     1    -1
     1    -1    -1
    -1    -1    -1

>> A = inv(sqrt(3)) * H8 * I8(:,[2,3,5])

A =

    0.5774    0.5774    0.5774
   -0.5774    0.5774    0.5774
    0.5774   -0.5774    0.5774
   -0.5774   -0.5774    0.5774
    0.5774    0.5774   -0.5774
   -0.5774    0.5774   -0.5774
    0.5774   -0.5774   -0.5774
   -0.5774   -0.5774   -0.5774

>> A' * A

ans =

    2.6667         0         0
         0    2.6667         0
         0         0    2.6667

>> A * A'

ans =

    1.0000    0.3333    0.3333   -0.3333    0.3333   -0.3333   -0.3333   -1.0000
    0.3333    1.0000   -0.3333    0.3333   -0.3333    0.3333   -1.0000   -0.3333
    0.3333   -0.3333    1.0000    0.3333   -0.3333   -1.0000    0.3333   -0.3333
   -0.3333    0.3333    0.3333    1.0000   -1.0000   -0.3333   -0.3333    0.3333
    0.3333   -0.3333   -0.3333   -1.0000    1.0000    0.3333    0.3333   -0.3333
   -0.3333    0.3333   -1.0000   -0.3333    0.3333    1.0000   -0.3333    0.3333
   -0.3333   -1.0000    0.3333   -0.3333    0.3333   -0.3333    1.0000    0.3333
   -1.0000   -0.3333   -0.3333    0.3333   -0.3333    0.3333    0.3333    1.0000